Penerapan Ekonomi dalam Deret Ukur

1.      Penerapan Ekonomi Deret Ukur

2.3      Model Bunga Majemuk

Model bunga majemuk merupakan Deret Ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung nilai modal di masa yang akan datang ditambah dengan akumulasi penambahan bunga, misalnya besarnya pengembalian kredit di masa yang akan datang berdasarkan tingkat bunganya, mengukur nilai sekarang dari jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa yang akan datang, dan sebagainya.

¨      Jika pembayaran bunga dilakukan pertahun

       Fn = P

¨      Jika pembayaran bunga dilakukan per hari, per triwulan, per caturwulan, dan per semester

 Fn = P

Keterangan :

Fn  = Jumlah Investasi Di Masa yang Akan Datang

P  = Jumlah Investasi Sekarang/Awalnya

i  = Tingkat Bunga per tahun

n  = Jumlah Tahun

m  = Frekuensi Pembayaran Bunga dalam setahun

2.3.2        Contoh Soal

Jika Bapak Joni mendepositokan uangnya di bank sebesar Rp. 5.000.000dengan tingkat bunga 12% pertahun, berapakah nilai total deposito Bapak Joni pada akhir tahun ke-enam ?

Dik :

      P = 5.000.000

n = 6

i = 12 % = 0,12

Dit :

F₆ = ?

Jawab :

Fn = P

F₆ = 5.000.000 (1 + 0,12)⁶

F₆ = 5.000.000 (1,973)

F₆ = Rp. 9.865.000

Analisis : Jadi, jumlah uang yang diterima Bapak Joni adalah Rp. 9.865.000

2.3.3        Contoh Soal

Susi membeli sebuah laptop dengan merek Toh Iba. Secara kredit selama 36 bulan seharga RP 4.800.000 dengan bunga sebesar 5 % per tahun. Susi melakukan pembayaran bunga per triwulan. Berapakah jumlah yang harus dibayarkan Susi ?

Dik :

      P  = 4.800.000

n  = 36 / 12 = 3

m = 12 / 3 = 4

i   = 5 % = 0,05

Dit :

F₃ = ?

Jawab :

F₃ = P

F₃ = 4.800.000

F₃ = 4.800.000

F₃ = Rp. 5.571.621

2.2     Model Bunga Sinambung

Jika frekuensi pembayaran bunga per tahun (m) sangat besar, bunga yang diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun, maka model deret ukur yang digunakan adalah metode deret ukur tak terhingga atau sinambung.

                        Fn = P . e . n

Keterangan :

Fn = Jumlah Investasi Di Masa yang Akan Datang

P = Jumlah Investasi Sekarang/Awalnya

e  = Eksponensial (2,71828)

n = Jumlah Tahun

1.2.1   Contoh Soal

Dita mempunyai tabungan deposito di Bank ABC, dengan frekuensi pembayaran bunga setiap 5 menit sekali selama 15 tahun. Nilai tabungan Amin di Bank tersebut yaitu Rp 1.000.000 pada saat pertama kali setoran. Berapakah jumlah uang Dita 15 tahun kemudian?

Dik :

P  = 1.015.015

n  = 15 tahun

Dit : F₁₅ = ?

Jawab :

   F₁₅ = P . e . n

   F₁₅ = 1.000.000 . 2,71828 . 15

   F₁₅ = 40.774.200

Analisis : Jadi, jumlah uang Dita 15 tahun kemudian adalah Rp 40.774.200

2.3     Model Present Value

Present Value (nilai sekarang) merupakan kebalikan dari compound value (nilai majemuk) adalah besarnya jumlah uang, permulaan periode atas dasar tingkat tertentu dari sejumlah uang yang baru akan kita terima beberapa waktu/periode yang akan datang.

¨      Jika pembayaran bunga dilakukan per tahun

P = Fn / (1 + i )ⁿ

¨      Jika pembayaran bunga dilakukan per hari, per triwulan, per kuartal, dan per semester

P = Fn /

Keterangan :

Fn  = Jumlah Investasi Di Masa yang Akan Datang

P  = Jumlah Investasi Sekarang/Awalnya

i  = Tingkat Bunga per tahun

n  = Jumlah Tahun

m  = Frekuensi Pembayaran Bunga dalam setahun

2.3.1 Contoh Soal

Gatot menginginkan agar uangnya menjadi Rp 65.750.000 pada 5 tahun yang akan datang, berapakah jumlah uang yang harus ditabung Gatot saat ini seandainya diberikan bunga sebesar 25 % per tahun ?

Dik :

F₅ = 65.750.000

i = 25 % = 0,25

n = 5

Dit : P ?

Jawab :

P = F_n / ( 1 + i )ⁿ

P = 65.750.000 / ( 1 + 0,25 )⁵

P = 65.750.000 / 3,018

P = 21.785.950,96 = 21.785.951 (dibulatkan)

Analisis : Jadi, jumlah uang yang harus ditabung Gatot saat ini adalah Rp 21.785.951

2.3.2 Contoh Soal

Dana membeli sebuah motor dengan merek Ya Murah, secara kredit selama 5 tahun dengan bunga sebesar 8 % per tahun. Dana melakukan pembayaran bunga per triwulan. Jika jumlah uang yang dibayarkan oleh Dana adalah Rp 23.255.900 berapakah mula-mula harga motor tersebut ?

Dik :

F₅ = 23.255.900

i = 8 % = 0,08

n = 5

m  = 12/3 = 4

Dit : P = ?

Jawab :

P = Fn /

P = 23.255.900 /

P = 23.255.900 / 1,486

P = 27.9

Analisis : Jadi, mula-mula harga motor tersebut adalah Rp 15.650.000

2.4    Model Pertumbuhan Penduduk

Metode ini dinyatakan oleh Malthus, beliau menyatakan bahwa pertumbuhan penduduk dunia dipengaruhi oleh deret ukur atau perubahan berdasarkan rasio tertentu.

P_t = P₁ R ^{( t –1 )}

Keterangan :

Pt = Jumlah Penduduk pada Tahun ke-t

P 1 = Jumlah Penduduk pada Tahun Basis

R = 1 + r

r  = Persentase Pertumbuhan per tahun

t  = Indeks Waktu (tahun)

2.4.1  Contoh Soal

          Penduduk kota E berjumlah 1.000.000 jiwa pada tahun 1999, tingkat pertumbuhannya 4 % per tahun. Berapakah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2015 ?

Dik :

P₁ = 1.000.000

r  = 4 % = 0,04

t  = (2015-1999) = 16

Dit : P₁₅?

Jawab :

R = 1 + r

R = 1 + 0,04

R = 1,04

P_t = P₁ R ^{( t –1 )}

P₁₅ = 1.000.000 (1,04)^{( 15 –1 )}

P₁₅ = 1.000.000 (1,8009)

P₁₅ = 1.800.944

Analisis : Jadi, jumlah penduduk di kota E pada tahun 2015 adalah 1.800.944 jiwa

DAFTAR PUSTAKA

Buku Matematika Ekonomi dan Bisnis, Josep Bintang Kalangi, Salemba Empat, 2006

Buku Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Dumairy, BPFE Yogyakarta, 1999

Modul Matematika Ekonomi 1, Laboratorium Manajemen Dasar, 2014