Matriks

A.     Definisi Matriks

Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yg terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.

B.    Bentuk dan Ciri Matriks

Tabel contoh       

Nama	Sakit	Ijin	Keterangan
Budi	3	2	4
Carli	2	1	0
Dodi	3	1	2

JUDUL KOLOM

JUDUL BARIS

                                                                                         

C.     Pengertian dan Istilah dalam Matriks

1.    Baris  dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horizontal dalam matriks.

2.    Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang  dituliskan tegak atau vertikal.

3.    Elemen atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan  (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.

4.    Ordo Matriks

Ø Ordo atau ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom dari matriks itu.

Ø Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks ditentukan oleh hasil kali banyak baris dengan banyak kolom dari matriks itu.

D.    Jenis Matriks

a.  Matriks Baris

Misal : P = [-5 2], Q = [10 9 8]

b.   Matriks Kolom

Misal :

c.    Matriks Persegi

Misal :

d.   Matriks Segitiga Atas dan Bawah

Misal :

e.   Matriks Diagonal

Misal :

f.     Matriks Identitas

Misal :

g.    Matriks Datar

Misal :

h.   Matriks Tegak

Misal :

i.     Matriks Skalar

Misal :

j.     Matriks Nol

Misal :

k.    Matriks Simetris

Misal :

l.      Transpos Matriks
Misal :

v Definisi : Transpos suatu Matriks
Transpos dari Matriks A berordo m x n adalah sebuah matriks A’ berordo n x m yang disusun dengan proses sebagai berikut:

[*] Baris pertama matriks A ditulis menjadi kolom pertama dalam matriks A’
[*] Baris kedua matriks A ditulis menjadi kolom kedua dalam matriks A’
[*] Baris ketiga matriks A ditulis menjadi kolom ketiga dalam matriks A’
[*] Baris ke-m matriks A ditulis menjadi kolom ke-m dalam matriks A’

v Definisi: Matriks Simetris atau Matriks Setangkap
Misalkan matriks A adalah matriks persegi berordo n. Matriks A disebut matriks simetris atau matriks setangkap jika dan hanya jika elemen-elemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama, ditulis:
                                                                          aij = aji
dengan i ≠ j

E.       Kesamaan Dua Matriks

v Definisi : Kesamaan Dua Matriks
Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika
[1] ordo matriks A sama dengan ordo matriks B
[2] semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, aij = bij (untuk semua nilai i dan j).

MATRIKS PENJUMLAHAN

“ Dua buah matriks dijumlahkan jika kedua ordo matriks tersebut sama.”

Bentuk operasinya adalah dengan menjumlahkan seluruh elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks tersebut.

      

                                 +      = 

Contoh  :   +       =     = 

MATRIKS PENGURANGAN

Contoh : Jika A =       dan  B =     , hitunglah A-B.

Jawab : A – B =    -       =    +   

                                                                                       

                                                                           =

                                            Perkalian bilangan real dengan matriks

Dalam Aljabar matriks, kita sering menyebutkan bilangan real sebagai suatu skalar. Hasil kali skalar k dan matriks A dituliskan dengan notasi

k . A

Matriks kA adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan hasil kali dari k dengan elemen-elemen matriks A.

   = 

Contoh ; Jika matriks A =  , hitunglah 5A .

   5A = 5        =      =  

F.       Syarat Perkalian Matriks

Ø Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A =banyak baris matriks B

Jika matriks A berordo m x n dan matriks B berordo n x p maka A x B = C dengan C berordo m x p

Am  x n x Bn x p = Cm x p

Ø Cara Mengalikan Matriks

misal A x B = C makaelemen matriks C adalah penjumlahan dari hasil kali elemen baris matriks Adengan elemen kolom matriks Byang bersesuaian

A_{m x n} x B_{n x p} = C_{m x p}

Contoh 1 :

  x 

=

=

=

Contoh 2 :

A =  dan B =

Hitunglah A x B dan B x A

A x B =  

=

=

B x A =  

=    =     

kesimpulan

A x B ¹  B x A

artinya

perkalian matriks

tidak bersifat komutatif

Contoh 3 :

Nilai a dari persamaan matriks:

 +  =  

Adalah ....

F3 = 3c ® c = 1

F-b – 3 = -5c

   -b – 3 = -5

         -b = -2 ® b = 2

F3 + b = -1 + 3a

   3 + 2 = -1 + 3a

         5 = -1 + 3a

         6 = 3a

Jadi nilai a = 2

Invers Matriks

Pengertian:

Jika hasil kali dua buah matriks

 adalah matriks identitas,

(A x B = B x A = I)

A^-1=  . Adj A     rumus ini berlaku untuk matriks berordo 2x2

karena A x B = B x A = I

berarti

B = invers A, atau A = invers B.

Jika B = invers A dan di tulis A^-1

maka

A. A-1 = A-1. A = I

Invers Matriks (2 x 2)

Jika A =

Maka invers matriks A adalah A^-1 =

ad – bc = determinan matriks A

Jika ad – bc = 0

berarti matriks tsb tidak mempunyai invers. Sebuah matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Sifat-sifat Invers Matriks:

A.A-1 = A-1.A = 1

1

 

2

3

(A-1 )-1 = A

(A. B)-1 = B-1. A-1

 

Contoh 1 :

Diketahui A =  dan B =

maka (AB)^-1 adalah….

Bahasan :

AB =

      =

      =

AB =

AB^-1 =    

                                =

Jadi, AB^-1 =

Contoh 2 :

Jika invers matriks A =

maka matriks A adalah….

Bahasan :

A = (A^-1 )^-1

A^-1 =

(A^-1)^-1 =

          =

(A^-1)^-1 = A =

Jadi matriks A =

Penyelesian

Persamaan Matriks :

Jika A, B dan M adalah matriks ordo (2x2)dan A bukan matriks singular

maka penyelesaian persamaan matriks :

·         AM = B adalah M = A^-1.B

·         MA = B adalah M = B.A^-1

Contoh 1 :

Jika A =  dan B =

Tentukan matriks M berordo (2x2)

yang memenuhi:        a. AM = B

                                          b. MA = B

Bahasan :

A =

A^-1 =

=

1. Jika AM = B  maka M = A^-1.B =

                                                                =

                                                Jadi M =

b.      Jika MA = B maka M = B.A^-1 =

                                                        =

                                        Jadi M =

Contoh 2 :

Diketahui hasil kali matriks

Nilai a + b + c + d sama dengan….

Bahasan :

                            =

diperoleh a = 1, b = -3, c = 4 dan d = 5

berarti a + b + c + d = 1 – 3 + 4 + 5 = 7

Determinasi matriks untuk matriks berorde lebih dari 3

Minor dan Kofaktor

Prinsip determinasi seperti yang telah dikemukakan sebelumnya hanya dapat berlaku sampai matriks berdimensi tiga, tidak dapat dipergunakan untuk penyelesaian determinan yang berdimensi lebih tinggi. Untuk penyelesaian determinan berdimensi lebih dari tiga digunakan metode minor dan kofaktor dari matriks yang bersangkutan.

Minor

Adalah determinan suatu matriks yang diperoleh dengan cara menutup baris dan kolom tertentu dari matriks yang bersangkutan. Minor dinotasikan dengan M_ij dimana I dan j melambangkan baris dan kolom yang ditutup. Sehingga M₁₁ berarti determinan yang diperoleh dengan cara menutup baris 1 dan kolom 1 dari matriks yang bersangkutan.

Contoh : carilah minor-minor dari matriks berikut

            1          2          3          untuk matrik berikut minornya ada 9, yaitu :

            4          5          7

            7          8          9         

M₁₁ = 5.9 – 8.7 = 45 – 56 = -11

M₁₂ = 4.9 – 7.7 = 36 – 49 = -13         

M₁₃ = 4.8 – 7.5 = 32 – 35 = -3                       

M₂₁ = 2.9 – 8.3 = 18 – 24 = -6                       

M₂₂ = 1.9 – 7.3 =   9 – 21 = -12         

M₂₃ = 1.8 – 7.2 =   8 – 14 = -6

M₃₁ = 2.7 – 5.3 = 14 – 15 = -1

M₃₂ = 1.7 – 4.3 =   7 – 12 = -5

M₃₃ = 1.5 – 4.2 =   5 –   8 = -3

 

Kofaktor

Adalah hasil perkalian minor dengan suatu angka yang besarnya menuruti suatu aturan, yaitu (-1)^i+j dimana I adalah baris dan j adalah kolom. Kofaktor dinotasikan dengan A_ij yang berarti atau sama dengan M_ij dikali dengan (-1)^i+j.

Contoh : dengan soal sama carilah kofaktor-kofaktornya :

Ada 9 kofaktor yaitu :

A₁₁ = M₁₁ (-1) ¹⁺¹ = -11. (-1)² = -11               

A₁₂ = M₁₂ (-1) ¹⁺² = -13. (-1)³ =  13               

A₁₃ = M₁₃ (-1) ¹⁺³ =   -3. (-1)⁴ = -3                 

A₂₁ = M₂₁ (-1) ²⁺¹ =   -6. (-1)³ =   6                

A₂₂ = M₂₂ (-1) ²⁺² = -12. (-1)⁴ = -12

A₂₃ = M₂₃ (-1) ²⁺³ = -6. (-1)⁵ =   6

A₃₁ = M₃₁ (-1) ³⁺¹ = -1. (-1)⁴ = -1                       Jadi kofaktornya adalah sebagai  

                                                                         berikut:

                                                                        [ A_ij ] = -11       13       -3

6        -12       6                                                                                                            -1         5       -3

         

A₃₂ = M₃₂ (-1) ³⁺² = -5. (-1)⁵ =   5

A₃₃ = M₃₃ (-1) ³⁺³ = -3. (-1)⁶ = -3

Determinan dengan minor dan kofaktor

Untuk mencari determinan dengan minor dan kofaktor rumusnya adalah :

Det A = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃ + ………… + a_1nA_1n

Sehingga dengan contoh soal determinannya adalah :

Det A = 1. –11 + 2.13 + 3.-3 = -11 + 26 + (-9) = 6

Sifat-Sifat Determinan

1.    Pertukaran baris dengan kolom tidak mempengaruhi nilai determinan.Dengan kata lain, determinan suatu matriks A mempunyai nilai yang sama dengan transpose A’  yaitu:   A    =    A ‘

2.    Pertukaran dua baris atau kolom manapun akan mengubah tanda, tetapi nilai dari determinannya tidak berubah

3.    Perkalian dari satu baris atau kolom manapun dengan bilangan skalar k (konstanta) akan mengubah nilai determinan sebesar k kali.

4.    Pertambahan atau pengurangan dari suatu kelipatan baris atau kolom manapun ke baris atau kolom yang lain tidak akan mengubah nilai determinannya.

5.    Apabila satu baris atau kolom adalah identik atau kelipatan dari baris atau kolom lainnya, maka nilai determinannya akan menjadi nol. Sifat ini menyatakan ketergantungan secara linier dalam sistem persamaan linier.

6.    Apabila semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, maka nilai determinannya nol

7.    Apabila perluasan determinan dengan menggunakan elemen baris atau kolom yang berbeda dengan kofaktor-kofaktornya, maka nilai determinannya akan menghasilkan nol.

I.              Adjoin matriks

Adjoin adalah ubahan dari kofaktor suatu matriks sehingga dirumuskan dengan

Adj. A = [ Aij ]’

 

                                       A11   A21   ...   An1

Adjoint A (Adj A) =      A12   A22   ...   An2

                                                                      

                                         A_1n      A_2n          A_nm

II.            Matriks Singular dan Nonsingular

Setelah mempelajari definisi determinan dan cara memperoleh nilai determinan serta sifat-sifatnya, maka kita akan dapat mengetahui apakah suatu matriks singular atau nonsingular.

Suatu matriks A dikatakan matriks singular jika dan hanya jika matiks itu mempunyai nilai determinan sama dengan nol. Sebaliknya, suatu matriks A dikatakan matriks nonsingular jika dan hanya jika matriks tersebut mempunyai nilai determinan tidak sama dengan nol. Jadi, jika nilai detrminan matriks A tidak sama dengan nol, maka akan diperoleh beberapa hal penting dalam pemecahan sistem persamaan linier, yaitu:

1.    Ada kebebasan linier baik baris atau kolom matrik A

2.    Matriks A nonsingular

3.    Ada invers A^–1

4.    Ada suatu jawaban tunggal untuk sistem persamaan linier

Penerapan Matriks dalam Sistem Linear

Contoh soal :

Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel berikut.

    2x + 3y = 2

    5x + 4y = 12

Jawab:

Nyatakan sistem persamaan tersebut dalam bentuk persamaan matriks berikut ini.

      =

    =        

    =      

    =    

Jadi, x = 4 dan y = -2. Himpunan penyelesaiannya = {(4,-2)}

Metode Cramer

Salah satu metode yang sederhana dan praktis dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan peralatan inverse matriks adalah aturan cramer. Aturan Cramer ini pada dasarnya mula-mula menggunakan peralatan inverse matriks, dan kemudian dalam proses penyelesaian selanjutnya digunakan konsep determinan. Hal ini beralasan, karena salah satu cara untuk memperoleh nilai inverse dari suatu matriks diperlukan nilai determinannya. Jadi, nilai determinan akan menentukan apakah suatu matriks mempunyai nilai inverse atau tidak.

         Contoh : andaikan      x + 2z +3y = 14

                                          4x + 5z + 7y = 35

                                          7x + 8z + 9y = 50 maka

det A =      1          2          3                      det x =    14        2       3

                  4          5          7          = 6                      35        5       7        = 6

                  7          8          9                                     50        8       9

det z =       1          14        3                      det y =     1         2       14

                  4          35        7          = 12                     4         5       35        = 18

                  7          50        9                                      7         8       50

               sehingga       x = det x / det A = 6 / 6 = 1

                  z = det z / det A = 12 / 6 = 2

                  y = det y / det A = 18 / 6 = 3

Contoh soal determinan :

determinan dari matriks A =   

Jawab :     A  =     = 2    - (-1)      + 3   

= 2(1-(-2)) + (-2 – (-1)) + 3(4 – (-1))

= 2(3) + (-1) + 3(5)

= 6 – 1 + 15

=20